% basé sur un document d'Arnaud Gazagnes de l'IREM de Lyon, http://math.univ-lyon1.fr/irem/spip.php?article340.
% et amélioré grâce à Xavier Ansiaux, Jean-Luc Giacomoni et Gaetan Marris. MERCI!

%\documentclass[11pt, twocolumn,a4paper]{article}
\documentclass[11pt, a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc} % pour PC
\usepackage[utf8]{inputenc}% pour PC,Pour les accents
%\usepackage[applemac]{inputenc} % pour Mac
\usepackage{amsmath} % pour pouvoir utiliser \text en mode maths

%-------------------------------------------------------------------------------------
%Mise en page
%-------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage[top=1.5cm, bottom=1.5cm, left=1.5cm, right=1.5cm]{geometry}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage{multicol} % Multi-colonnes
\setlength{\columnseprule}{0.25pt} % pour mettre ligne de séparation entre les colonnes
\setlength{\columnsep}{30pt} %espace entre les colonnes
%\begin{multicols}{2} ... \end{multicols} met sur deux colonnes en utilisant le minimum de place en vertical
%\begin{multicols*}{2} ... \end{multicols*} met sur deux colonnes en remplissant intégralement la premi1ere colonne avant de remplir la deuxième
\renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} % Pour avoir des "bullet points" dans les listes


%-------------------------------------------------------------------------------------
% Tableaux
%-------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{tabularx}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
\usepackage{diagbox}

%-------------------------------------------------------------------------------------
%Gère solutions des exos
%-------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{answers}
\usepackage[thmmarks,amsmath]{ntheorem}

%-------------------------------------------------------------------------------------
% Structure Exercice 
%-------------------------------------------------------------------------------------
\theorembodyfont{\normalfont}
\newtheorem{Exc}{Exercice}\Newassociation{correction}{Soln}{mycor}
\renewcommand{\Solnlabel}[1]{\textbf{\emph{Corrig\'e de l'exercice #1}}} 
\def\exo#1{\futurelet\testchar\MaybeOptArgmyexoo}
\def\MaybeOptArgmyexoo{\ifx[\testchar \let\next\OptArgmyexoo
                        \else \let\next\NoOptArgmyexoo \fi \next}
\def\OptArgmyexoo[#1]{\begin{Exc}[#1]\normalfont}
\def\NoOptArgmyexoo{\begin{Exc}\normalfont}
\newcommand{\finexo}{\end{Exc}}
\newcommand{\flag}[1]{}
\newcommand{\entete}[1]

% ----------------------------------------
% Pour avoir les numéros des exos en gras,from APMEP
%-------------------------------------------------------------------------------------
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}


%-------------------------------------------------------------------------------------
% Raccourcis pour les ensembles de nombres
%-------------------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %Raccourci pour l'ensemble des reels = en mode maths, taper \R dans le corps du document
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}

%-------------------------------------------------------------------------------------
% Graphiques
%-------------------------------------------------------------------------------------
\usepackage{pgf,tikz}
\usepackage{pgfkeys}
\usepackage{tkz-fct} % pour tracer des courbes de fonctions
\usepackage{tkz-tab} % pour faire des tableaux de variations
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{arrows} %Flèches TikZ
\usetikzlibrary{patterns} %Styles de remplissage TikZ
%\usepackage{xcolors} % demandé pour compiler le pgf-tikz de Geogebra 
%\usepackage{wrapfig} %Figure incrustée dans du texte
%\usepackage{graphicx} % gestion des images (jpg, png, eps, etc...)
%\usepackage{pstricks}
\usepackage{pstricks} % pour faire des dessins
\usepackage{pst-node,pst-tree} % pour dessiner des arbres et des graphes avec pstricks

%-----------------------------------------------------------------------------
% Pour avoir Smileys (en noir et blanc)
%-------------------------------------------------------------------------------------
% Mettre \usepackage{tikz} dans le preambule
% Utilisation : Mettre \Simley{0.5}
\usepackage{tikz}
\newcommand{\Simley}[1]{%
\begin{tikzpicture}[scale=0.11]
    \newcommand*{\SmileyRadius}{1.0}%
    \draw [fill=brown!10] (0,0) circle (\SmileyRadius)% outside circle
        %node [yshift=-0.22*\SmileyRadius cm] {\tiny #1}% uncomment this to see the smile factor
        ;  

    \pgfmathsetmacro{\eyeX}{0.5*\SmileyRadius*cos(30)}
    \pgfmathsetmacro{\eyeY}{0.5*\SmileyRadius*sin(30)}
    \draw [fill=black,draw=none] (\eyeX,\eyeY) circle (0.15cm);
    \draw [fill=black,draw=none] (-\eyeX,\eyeY) circle (0.15cm);

    \pgfmathsetmacro{\xScale}{2*\eyeX/180}
    \pgfmathsetmacro{\yScale}{1.0*\eyeY}
    \draw[color=black, domain=-\eyeX:\eyeX]   
        plot ({\x},{
            -0.1+#1*0.15 % shift the smiley as smile decreases
            -#1*1.75*\yScale*(sin((\x+\eyeX)/\xScale))-\eyeY});
\end{tikzpicture}%
}%

\usepackage{fourier} %Pour avoir le panneau triangulaire danger avec le point d'exclamation. Ds le doc : \danger

%-------------------------------------------------------------------------------------
%pour un e droit dans les formules
\usepackage{amsopn} 
\DeclareMathOperator{\e}{e} 

%-------------------------------------------------------------------------------------
%JL :Package à inclure en dernier : Liens Internet
%\usepackage[unicode=true]{hyperref}[colorlinks=true, linkcolor=blue]% pour des liens en couleur
\usepackage[unicode=true]{hyperref}
\hypersetup{urlcolor=blue!50} % pour des liens en couleur, ne marche pas
% dans le doc \url{http://mathematoques.weebly.com/}

%%%%%%%%%%%%%%%  \begin{document}  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\pagestyle{empty} 
%
%\begin{center}
%\begin{LARGE}
%\textbf{EXERCICES DE CALCUL ALGÉBRIQUE, 2NDE}
%\end{LARGE}\\
%Laure Helme-Guizon 
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\section*{\fbox{EXERCICES DE CALCUL ALGÉBRIQUE, 2NDE}}
%%\section*{\textcolor{red}{\fbox{Exercices sur les fonctions}}}
%\end{center}
%
%
%\textbf{\framebox[\linewidth]{EXERCICES DE CALCUL ALGÉBRIQUE, $2^{nde}$}}
%
\begin{center}
\begin{LARGE}
\textbf{
\begin{tabular}{%
|>{\centering}p{0.22\linewidth}|>{\centering}p{0.55\linewidth}|>{\centering}p{0.15\linewidth}|}
\hline  
EXERCICES & UN PEU DE CALCUL... & 2nde  \tabularnewline
\hline
\hline
\end{tabular}
}
\end{LARGE}
\textit{%
\quad
\hfill
Laure Helme-Guizon, 
\hfill
\href{http://mathematoques.weebly.com/}{MathémaToqués}
\hfill
\url{http://mathematoques.weebly.com/}
\hfill
29 octobre 2015
\hfill
}
\end{center}



%\begin{large}
%\textbf{
%\begin{tabular}{%
%|>{\centering}p{0.22\linewidth}|>{\centering}p{0.53\linewidth}|>{\centering}p{0.15\linewidth}|}
%\hline  
%EXERCICES & CALCUL ALGÉBRIQUE & 2nde  \tabularnewline
%\hline
%\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{large}

\Opensolutionfile{mycor}[ficcorex]
% stoque les solutions des exos qui seront affichées sur une autre page?

\medskip

\exo{}$\ $
On considère les nombres $A=(1-2 \times 10^{-8})(1+2 \times 10^{-8})$ et $B=(1-2 \times 10^{-8})^2(1+2 \times 10^{-8})^2$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $A$ et $B$ à la calculatrice.
	\item 
	\begin{enumerate}
	\item Après avoir posé  $x= 10^{-8}$, développer et réduire $A$ et $B$ .
	\item En déduire les valeurs exactes de $A$ et $B$ .
	\item Comparer votre réponse à celle de la question 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{correction} $\ $\par 
	à faire
\end{correction}

\finexo

\exo{}$\ $

\begin{minipage}{0.50\textwidth}
\label{ExoIntersectionGraph+Calc}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \mbox{$f(x)=4-x^2$}. Son graphe $\mathcal{C}_{f}$ est donné ci-contre. Soit $d$ la droite d'équation $y=1$.  % \mbox{} pourempêcher la coupure d’un mot (une césure) ou d’un groupe de mots
\begin{enumerate}
\item Au moyen du graphique, déterminer un encadrement à 0.5 près des abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $d$.
\item Déterminer la valeur exacte de ces abscisses par le calcul.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\begin{axis}[x=1cm, y=1cm,%
axis x line=center,%
axis y line=center,%
grid = major,%
grid style={dashed, gray!60},%
xmin=-3, xmax=3,%
ymin=-1, ymax=4.55,%
enlargelimits=true,%
axis background/.style={fill=white},%
x tick style={color=blue, very thick},%
x tick label style={color=blue, fill=white},%
y tick style={color=blue, very thick},%
y tick label style={color=blue, fill=white},%
xlabel=, ylabel=,
tick align=outside]
\addplot[domain=-3:3,samples=200,ultra thick]{4-x^2};%
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{correction} $\ $\par 
\begin{enumerate}
\item  $-2  \leqslant x_1 \leqslant -1.5$    et   $1.5  \leqslant x_2 \leqslant 2$
\item  $4-x^2=1 \Leftrightarrow  x^2-3=0  \Leftrightarrow  (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$ d'où  $x_1=-\sqrt{3}$ et  $x_2=+\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\finexo


\exo{}$\ $

\begin{enumerate}
	\item Au moyen d'une identité remarquable,  écrire le plus simplement possible \mbox{$A=(\sqrt{20}-3\sqrt{5})^2$.}
	\item 
	\begin{enumerate}
	\item Écrire le plus simplement possible $B=\sqrt{20}-3\sqrt{5}$.
	\item En déduire une autre façon de calculer $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{correction} $\ $\par 
	\begin{enumerate}
	\item  $A=(\sqrt{20}-3\sqrt{5})^2=20-2 \times \sqrt{20} \times 3\sqrt{5} +9 \times 5=20-60+45=5$.
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item  $B=\sqrt{20}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-\sqrt{5}$
		\item  $A=B^2=(-\sqrt{5})^2=5$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{correction}

\finexo


\begin{multicols*}{2} %met sur deux colonnes en remplissant intégralement la premi1ere colonne avant de remplir la deuxième
%\begin{multicols}{2} %met sur deux colonnes en utilisant le minimum de place en vertical

\exo{}$\ $
Même énoncé que l'exercice \ref{ExoIntersectionGraph+Calc} avec cette fois-ci $f(x)=x^2-7$, $d$ a pour équation $y=-2$, et la représentation graphique n\rq{}est plus donnée mais est à obtenir avec votre calculatrice.

\begin{correction} $\ $\par 
Pas fait.
\end{correction}

\finexo

\exo{}$\ $ 
On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}
%\hline
%Entrer le nombre $x$. \\
%\hline
%Si $x>0$, \\
%Alors \\
%	\quad \begin{tabular}{|l}   % \qquad = horizontal 2em space
%	$y$ prend la valeur $-\sqrt{1+x}$\\
%	 \end{tabular}\\
%Sinon \\
%	\quad \begin{tabular}{|l}   % \qquad = horizontal 2em space
%	$y$ prend la valeur $\sqrt{1-x}$\\
%	 \end{tabular}\\
%Fin si\\
%\hline
%afficher $y$\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\hspace{-0.5cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
ENTRÉE : Entrer le nombre $x$. \\
\hline
Si $x>0$, \\
alors 	$y$ prend la valeur $-\sqrt{1+x}$\\
sinon 	$y$ prend la valeur $\sqrt{1-x}$\\
Fin si\\
\hline
SORTIE : afficher $y$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Calculer la valeur que l'on obtient en sortie de l'algorithme pour les valeurs d'entrée données ci-dessous et compléter le tableau. On donnera à chaque fois des valeurs exactes écrites le plus simplement possible.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} % les traits verticaux indiquent s'il y a ou non des bordures verticales visibles dans le tableau
\hline
 valeurs d'entrée x & -8 & 120 & 0 &  31 &  -71 \\
\hline %ligne de séparation horizontale, on en met deux pour avoir une ligne double
 valeurs de sortie y  &    &         &    &        &        \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{correction} $\ $\par 
À faire
\end{correction}

\finexo

\exo{}$\ $

Comparer sans calculatrice les nombres $A=\dfrac{9^4 \times 3^2}{3^7}$ et $B=5^2$

\begin{correction} $\ $\par 
 $A=\dfrac{3^8 \times 3^2}{3^7}=3^3=27 > 25=5^2=B$
\end{correction}

\finexo

%B\vfill\columnbreak.

\exo{}$\ $

\begin{enumerate}
\item Factoriser  $x^2-25- 4x(x-5)$
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \mbox{$f(x)=x^2-25- 4x(x-5).$} Résoudre $f(x)=0$.
\end{enumerate}

\begin{correction} $\ $\par 
\begin{enumerate}
\item $x-5$ est un facteur commun, d'où\mbox{ $x^2-25- 4x(x-5)$} $=(x-5)(-3x+5)$ %\mbox pour que l'expression reste sur une ligne
\item $f(x)=0 \Leftrightarrow  x^2-25- 4x(x-5)=0 \Leftrightarrow (x-5)(-3x+5)=0 \Leftrightarrow x=5$  or $x=\frac{5}{3}$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\finexo

\exo{}$\ $
$f(x)=(2 x-\sqrt{3})^2-(x+2\sqrt{3})^2$
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer
\begin{enumerate}
\item $f(0)$.
\item $f(-2\sqrt{3})$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{correction} $\ $\par 

\begin{enumerate}
\item $f(x)=3 x^2 -9.$
\item Factoriser : $f(x)=(\sqrt{3} x -3)(\sqrt{3} x +3)$.
\item 
\begin{enumerate}
\item $f(0)=-9$.
\item $f(-2\sqrt{3})=27$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{correction}

\finexo

\exo{}$\ $

%Résoudre l'équation $\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.$
Résoudre l'équation $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{5}.$

\begin{correction} $\ $\par 
En multipliant les deux membres par $15 x$, on obtient  $x=-\dfrac{15}{2}$
\end{correction}

\finexo

%\vfill
%\columnbreak



\exo{}$\ $

Résoudre l'équation $-3(2x+5)+7(3x+10)=10x.$

\begin{correction} $\ $\par 
 $x=-11$
\end{correction}

\finexo

\vfill
%\exo{}$\ $
%Si un objet se déplace à vitesse constante $v$, la distance $d$ qu'il parcourt pendant un temps $t$ secondes est donnée par la formule $v=\dfrac{d}{t}$.
%\begin{enumerate}
%\item Exprimer $d$ en fonction des autres variables.
%\item  Exprimer $t$ en  fonction des autres variables.
%\end{enumerate}
%
%\begin{correction} $\ $\par 
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
%\item $d=v \times t$ 
%\item   $t=\dfrac{d}{v}$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}``
%\end{correction}
%
%\finexo

\framebox[\linewidth]{
BILAN : 
\begin{tabular}{|l|c|c|c|} % les traits verticaux indiquent s'il y a ou non des bordures verticales visibles dans le tableau
\hline
 & \Simley{-0.5} & \Simley{0} &\Simley{0.5} \\
\hline %ligne de séparation horizontale, on en met deux pour avoir une ligne double
Communication &  &  &  \\
\hline
Technique     &  &  & \\
\hline
Raisonnement  &  &  & \\
\hline
\end{tabular}
}


\end{multicols*}
%\end{multicols}

\newpage

\textbf{\framebox[\linewidth]{Corrigés, succints ou non}}

\begin{multicols}{2}
\setcounter{page}{1}\Closesolutionfile{mycor}\Readsolutionfile{mycor}
\end{multicols}

\end{document}